曲面造型最全科普，3D设计师必懂（1）：NURBS曲线

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曲面造型的诞生：工业革命的产物

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在开始被各种数学方程式轰炸之前，我们先来点小清新放松一下，看看曲面造型的历史。

1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢量函数方法，并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种控制多边形设计曲线的新方法，这种方法不仅简单易用，而且漂亮的解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但Bezier的方法仍存在连接问题和局部修改问题。

直到1975年美国Syracuse大学的Versprille首次提出有理B样条方法，终于使非均匀有理B样条（NURBS）方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。NURBS方法的提出和广泛流行时生产发展的必然结果。

NURBS方法的突出优点：可以精确的表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其他非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更易于控制和奖杯3d模型实现；NURBS方法是非有理B样条方法在思维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面，便于继承和发展。

总的来说，它的诞生是工业革命的产物——在汽车与飞机技术日渐成熟，工业设计师秉持nozuonodie的精神，持续开发让博主头昏脑胀的各种数学公式和技术，估计也折磨了一大批不少在曲面造型路上挣扎前行的中国好骚年们。那么到底这个NURBS曲线是什么，请大胆地把鼠标中间往下滑一下！

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中望3D生成的曲线和曲面都是NURBS，即非统一有理B样条。具体解释是：是用数学方式描述包含在物体表面上的曲线或样条（众读者：请说人话）。应各位要求，在此详细解释：

  1）NURBS的基本概念：

  Non-Uniform(非统一）：是指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。当创建一个不规则曲面的时候这一点非常有用。同样，统一的曲线和曲面在**投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说这是一个严重的缺陷。

Rational(有理）：是指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。

B-Spline(B样条）：是指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插值替换的。
简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。

  2）NURBS度数和连续性

所有的曲线都有Degree(度数）。一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主要的指数。一个直线的等式度数是1，一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数是3.可以把度数设得很高，但通常不必要这样做。虽然度数越高曲线越圆滑，但计算时间也越长。一般只要记住Degree(度数）值越高曲线越圆滑就可以了。

曲线也都有Continuity(连续性）。一条连续的曲线是不间断的。连续性有不同的级别，一条曲线有一个角度或尖端，它的连续是是C0。一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1。如果一条曲线是连续的，曲率不改变，连续性是C2。
一条曲线可以有较高的连续性，但对于计算机建模来说这三个级别已经够了。通常眼睛不能区别C2连续性和更高的连续性之间的差别。

连续性和度数是有关系的。一个度数为3的等式能产生C2连续性曲线。NURBS造型通常不需要这么高度数的曲线。

一条不同片断的NURBS曲线可以用不同级别的连续性。具体来说，在同样的位置或非常靠近的地方放置一些可控点，会降低连续性的级别。两个重叠的可控点会使曲率变尖锐。三个重叠的可控点会在曲线里建立一个有角度的尖角。附加一个或两个可控点会在曲线的附近联合它们的影响力。从可控点中删除一个离开它们，就增加了曲线的连续性的级别。

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